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Die Hierarchie des Unendlichen

Vor 100 Jahren starb der deutsche Mathematiker Georg Cantor. Die von ihm begründete Mengenlehre stieß bei Fachkollegen lange auf heftigen Widerstand. Von Martin Koch

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Georg Cantor (3. März 1845 bis 6. Januar 1918)
Georg Cantor (3. März 1845 bis 6. Januar 1918)

Die sogenannte Mengenlehre ist eines der wichtigsten Konzepte der Mathematik. Sie bildet die Grundlage fast aller modernen Gebiete dieser Wissenschaft und ermöglicht deren einheitlichen Aufbau mithilfe einiger weniger Grundprinzipien. Dieses erstaunliche Theoriegebäude begründet und entwickelt zu haben, ist das Werk eines Mannes, das Werk des deutschen Mathematikers Georg Cantor. Cantor steht damit in der Geschichte der Wissenschaften nahezu beispiellos da. Denn es komme nur sehr selten vor, dass »eine ganze wissenschaftliche Disziplin von grundlegender Bedeutung der schöpferischen Tat eines Einzelnen zu verdanken ist«, schrieb der Mathematiker Ernst Zermelo, der 1932 die gesammelten Werke des inzwischen verstorbenen Cantor herausgab. Dessen Mengenlehre sei zum bleibenden Besitz der Wissenschaft geworden, »so dass alle späteren Forschungen auf diesem Gebiete nur noch als ergänzende Ausführungen seiner grundlegenden Gedanken aufzufassen sind«.

Ähnlich euphorisch äußerte sich David Hilbert, einer der bedeutendsten Mathematiker des 19. und 20. Jahrhunderts: »Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen hat, soll uns niemand vertreiben können.« Vermutlich hätte sich der so Geehrte glücklich geschätzt, wenn seinen Arbeiten schon zu seinen Lebzeiten eine ähnliche Würdigung aus berufenem Mund zuteil geworden wäre. Doch oftmals war das Gegenteil der Fall. Cantors Leben und Wirken ist ein gutes Beispiel dafür, dass das Menschliche, Allzumenschliche auch vor den Toren der Wissenschaft nicht halt macht. Von einflussreichen Fachkollegen, die sich unfähig zeigten, die Tiefe und Originalität seiner Gedanken zu erfassen, wurde Cantor als »Scharlatan« und »Verderber der Jugend« geschmäht und seine Ideen als »Humbug« diffamiert.

Wie es dazu kam? Blicken wir zurück: Georg Cantor wurde als Sohn eines Kaufmanns und Börsenmaklers am 3. März 1845 in St. Petersburg geboren. Hier erhielt er zunächst Privatunterricht, anschließend besuchte er für einige Jahre die Grundschule. 1856 siedelte die Familie wegen der schlechten Gesundheit des Vaters in die Kurstadt Wiesbaden über. Nachdem Cantor die Realschule »mit Auszeichnung« abgeschlossen hatte, schrieb er sich 1860 an der Höheren Gewerbeschule in Darmstadt ein und studierte gemäß dem Wunsch seines Vaters Ingenieurwissenschaften. Doch bald schon merkte er, dass diese Ausbildung nicht das Richtige für ihn war. Also brachte er seinen wohlhabenden Vater dazu, ihm ein Mathematikstudium zu erlauben, welches er 1862 am Polytechnikum in Zürich aufnahm. Später wechselte Cantor an die Berliner Universität und besuchte hier die mathematischen Seminare von Karl Weierstraß, Ernst Kummer und Leopold Kronecker. Letzterer wurde vor allem dadurch bekannt, dass er die Mathematik allein auf Grundlage der natürlichen Zahlen entwickeln wollte. Von ihm stammt der Satz: »Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.« Ausgehend von einer auf das Endliche gerichteten mathematischen Betrachtungsweise sollte Kronecker zum schärfsten Kritiker der Mengenlehre werden, in der Unendlichkeiten eine zentrale Rolle spielen.

Nachdem Cantor ein Semester an der Universität Göttingen verbracht hatte, kehrte er 1867 nach Berlin zurück und erwarb mit einer Arbeit über Zahlentheorie den Doktortitel. Seine akademische Karriere begann er 1869 als Privatdozent an der Universität Halle, wo er unter anderem mit Edmund Husserl, dem Begründer der Phänomenologie, freundschaftlich verkehrte. Zu den Zentren der Mathematik gehörte Halle an der Saale zwar nicht. Doch das störte Cantor wenig, denn er war überzeugt, irgendwann nach Berlin oder Göttingen berufen zu werden.

Bereits mit 24 Jahren gelang ihm die Lösung eines Problems, an dem andere bekannte Mathematiker zuvor gescheitert waren: Cantor konnte beweisen, dass die Darstellung einer Funktion als Summe trigonometrischer Reihen eindeutig ist. Von diesem Beweis ausgehend führte sein Weg zur Mengenlehre beziehungsweise zu einer neuen Bestimmung des Unendlichen. Bis dahin waren in der Mathematik nur potenzielle Unendlichkeiten zugelassen, das heißt Unendlichkeiten, die lediglich als Möglichkeit existieren, immer einen Schritt weiter über die Grenzen des jeweils erreichten Endlichen hinauszugehen. Weder konnte man mit solchen Unendlichkeiten rechnen noch sie benutzen, um andere Aussagen zu beweisen. Cantor hingegen führte auch das abgeschlossene, sprich aktual Unendliche in die Mathematik ein. Dies zu tun, war zweifellos ein gewagter Schritt, bedenkt man, was 1831 der berühmte Mathematiker Carl Friedrich Gauß erklärt hatte: »So protestiere ich zuvörderst gegen den Gebrauch einer unendlichen Größe als einer Vollendeten, welcher in der Mathematik niemals erlaubt ist.«

Auch wer Cantor nicht kennt, kennt vermutlich seine Definition der Menge, die da lautet: »Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente genannt werden) zu einem Ganzen.« Dass endliche Mengen, also Mengen mit endlich vielen Elementen, gleich oder verschieden groß sein können, leuchtet ein. Laut Cantor gilt Gleiches aber auch für unendliche Mengen. Oder anders formuliert: Unendlich ist nicht gleich unendlich, es gibt eine regelrechte Hierarchie von Unendlichkeiten. Manche unendliche Mengen sind gleich groß oder mächtig, wie Mathematiker sagen, andere unterscheiden sich. Zu Ersteren gehören die ganzen und rationalen Zahlen, die beide »abzählbar« sind. Das heißt, man kann sie der Reihe nach anordnen: Auf die erste Zahl folgt die zweite, darauf die dritte und so weiter. Ebenso könnte man auch die Sterne am Himmel abzählen und ordnen.

Anders liegen die Verhältnisse bei den reellen Zahlen, von denen die meisten unendlich viele Dezimalstellen aufweisen. Sie lassen sich deshalb nicht der Reihe nach anordnen, es passen immer noch welche dazwischen. Reelle Zahlen sind »überabzählbar«. In Cantors Lesart ist deren Menge unendlichmal größer als die Menge der natürlichen Zahlen.

Welch verwirrende Schlussfolgerungen die neue Mathematik in sich barg, zeigte sich 1877. Cantor gelang damals der Nachweis, dass die Menge der Punkte auf der Strecke zwischen 0 und 1 genauso groß ist wie die Menge der Punkte auf einem Quadrat mit der Seitenlänge 1, obwohl auf die Fläche eigentlich viel mehr Punkte passen sollten. Ihm selbst war die Sache nicht geheuer: »Ich sehe es, aber ich glaube es nicht.« Trotzdem schickte Cantor seinen Beweis gegen den Rat eines Freundes an die Fachzeitschrift »Crelles Journal«. Doch dort saß sein Erzfeind Kronecker, der nicht nur den Druck des Artikels verzögerte, sondern sich auch gegen Cantors Berufung nach Berlin aussprach.

Einmal bewarb Cantor sich sogar direkt beim preußischen Kultusminister um eine frei werdende Stelle an der Berliner Universität. Viel Hoffnung hegte er freilich nicht, denn ihm sei bekannt, schrieb er an einen Freund, dass Schwarz, der ebenfalls in Berlin lehrte, und Kronecker »seit Jahren fürchterlich gegen mich intrigieren«. Auch diesmal, so meinte Cantor, werde Kronecker »wie von einem Skorpion gestochen auffahren«, und seine Hilfstruppen dürften »ein Geheul anstimmen, dass Berlin sich in die Sandwüsten Afrikas mit ihren Löwen, Tigern und Hyänen versetzt glauben wird«.

Kronecker indes blieb gelassen. Er wandte sich lediglich an den schwedischen Mathematiker Gösta Mittag-Leffler, den Gründer der Zeitschrift »Acta Mathematica«, in der einige von Cantors Arbeiten erschienen waren, und fragte, ob er im selben Blatt einen Artikel gegen die Mengenlehre veröffentlichen dürfe. Eigentlich hatte Kronecker gar nicht die Absicht, einen solchen Artikel zu schreiben. Er hoffte wohl eher, so glaubt der britische Wissenschaftshistoriker John D. Barrow, »dass Cantor nicht mehr in den Acta Mathematica publizieren würde, wenn er erführe, dass Mittag-Leffler sein Vertrauen durch eine Zusage an Kronecker verraten habe«. Obwohl Kronecker nie einen Artikel an die »Acta« sandte, boykottierte Cantor zu guter Letzt das Journal. Er litt zu dieser Zeit bereits an einer manisch-depressiven Erkrankung und musste sich in der Folge mehrmals zur Behandlung in ein Hallenser Sanatorium begeben.

Nachdem Cantor klar geworden war, dass ihm der Weg nach Berlin versperrt bleiben würde (tatsächlich wirkte er bis zu seinem Tod in Halle), wandte er sich von der Mathematik ab und anderen Themen zu. So ging er der Frage nach, wer die Werke von Shakespeare in Wirklichkeit verfasst habe. Am Ende sprach er sich für Francis Bacon aus, einen englischen Philosophen, der als Wegbereiter des Empirismus gilt. Schließlich suchte der tiefgläubige Cantor Anschluss bei den Theologen, denen er erklärte, dass Gott selbst ihm seine Ideen über das Unendliche offenbart habe. »Von mir wird der christlichen Philosophie zum ersten Mal die wahre Lehre vom Unendlichen in ihren Anfängen dargeboten.« Die Unendlichkeiten, auf die er gestoßen sei, so Cantor, dehnten den Herrschaftsbereich Gottes aus, ohne dass der menschliche Geist imstande wäre, diesen in seiner Gesamtheit zu erfassen. Denn das »absolut Unendliche« liege außerhalb dessen, was Menschen begreifen könnten. Am Ende sah Cantor es gar als »höhere« Fügung an, dass ihm eine Berufung nach Berlin versagt geblieben war. »Denn so hat Gott mich gezwungen durch ein tieferes Eindringen in die Theologie Ihm und seiner heiligen römisch-katholischen Kirche zu dienen«. Als Mathematiker allein hätte er dies so niemals gekonnt.

Im Jahr 1891 starb Kronecker. Danach verloren die Angriffe gegen Cantor an Schärfe. Immer mehr junge Mathematiker begeisterten sich nun für dessen Ideen, die auch internationale Anerkennung fanden. Cantor erhielt zahlreiche Preise, die persönlich entgegenzunehmen ihm jedoch aufgrund seiner psychischen Erkrankung nicht immer vergönnt war. Eine geplante Feier zu seinem 70. Geburtstag musste wegen des Ersten Weltkriegs abgesagt werden. Ein letztes Mal wurde Cantor im Mai 1917 in die psychiatrische Klinik in Halle eingeliefert, wo er infolge von Lebensmittelrationierungen bedrohlich abmagerte. Ohne die Klinik noch einmal verlassen zu haben, starb er am 6. Januar 1918 im Alter von 72 Jahren an Herzversagen.

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