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Großer Satz von Fermat, kleinere Probleme

Mit Schülerinnen und Schülern um die Wette gedacht

Der Chemnitzer Mathelehrer Thomas Jahre veröffentlicht bei www.schulmodell.eu wöchentlich eine Aufgabe, die sich an Schüler sowie alle mathematisch Interessierten richtet. Der sechssprachige Newsletter hat weltweit fast 2000 Empfänger. Die heutige Aufgabe ist bei www.schulmodell.eu die Nr. 647.

»Dass es natürliche Zahlen gibt (größer 0), die x² + y² = c² erfüllen, ist ja bekannt. Ebenso weiß man auch, dass es keine natürlichen Zahlen gibt (größer 0), so dass x³+y³ = z³ gilt«, sagte der Opa von Bernd und Maria. Das kannten die beiden bereits aus ihren Mathezirkeln. Es handelt sich um nicht weniger als um einen Spezialfall des legendären »Großen Fermat’schen Satzes«. Der war erstmals im 17. Jahrhundert von Pierre de Fermat (1607 - 1665, franz. Mathematiker und Jurist) formuliert, endgültig aber erst 1994 bewiesen worden.

1. Doch wie Bernd und Maria ihren Opa kennen, konnte das nur seine Einleitung zu den eigentlichen Aufgaben sein, die er den beiden stellen wollte. Und er fuhr auch gleich fort: »Allerdings lassen sich für a³ + b³ + c³ = d³ und sogar für a³ + b³ + c³ + d³ = e³ positive ganze Zahlen finden, die diese Gleichungen erfüllen.« Bernd und Maria schafften es. Welche Zahlen finden Sie, die den Gleichung genügen? (a,b,c,d,e sind für jede Aufgabe anders. Für die Wertung bei »nd« reicht eine Lösung.)

2. Die Besonderheiten mit Kubikzahlen gehen aber noch viel weiter. Das zeigen z.B. diese drei Gleichungen. Frage: Mit welchen positiven ganzen Zahlen gehen sie auf?

a³ +(a+b)³+(a +2b)³+…+(a+6b)³ = c³

a³ +(a+b)³+(a+2b)³+…+(a+7b)³ = c³

a³+ (a+b)³+(a +2b)³+…+(a+9b)³ = c³

(a,b,c sind und für jede Aufgabe anders. Für die Wertung bei »nd« reicht eine Lösung.)

»nd.Commune« verlost unter den richtigen Antworten ein Buch. Zusätzlich punkten und gewinnen kann man mit seinen »Richtigen« auch noch bei www.schulmodell.eu/unterricht/faecher/ mathematik/wochenaufgabe.html

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