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Das System als Roman

Eine Regelmäßigkeit der Worthäufigkeit passt bemerkenswerterweise auch auf Unternehmensgrößen und die Größe von Städten. Von Frank Ufen

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Im Jahre 2010 hatte New York 8 175 000 Einwohner. Los Angeles war mit 3 793 000 Menschen die zweitgrößte Stadt der Vereinigten Staaten. Dann folgten Chicago mit 2 696 000, Houston mit 2 100 000 und Philadelphia mit 1 526 000 Einwohnern. Zwischen den Einwohnerzahlen sämtlicher amerikanischer Städte besteht ein verblüffender statistischer Zusammenhang: Die zweitgrößte Stadt der USA hat ungefähr halb so viele Einwohner wie New York, die drittgrößte Stadt hat etwa ein Drittel der Einwohnerzahl New Yorks, die viertgrößte Stadt etwa ein Viertel, die fünftgrößte etwa ein Fünftel, usw., usw.

Zieht man zum Vergleich die Größenverhältnisse deutscher Städte heran, lassen sich ganz ähnliche statistische Regelmäßigkeiten feststellen. Im Jahre 1999 betrug die Einwohnerzahl von Berlin 3 341 000. Hamburg, die zweitgrößte Stadt, erreichte mit 1 705 000 Einwohnern ziemlich genau die Hälfte der Einwohnerzahl Berlins, München als die drittgrößte Stadt verfügte mit 1 195 000 Einwohnern über etwa ein Drittel, Köln mit 963 000 Einwohnern über ein Viertel und Frankfurt am Main mit 644 000 Einwohnern über ein Fünftel der Bevölkerung Berlins.

Dieser eindeutige statistische Zusammenhang zwischen dem Rangplatz einer Stadt und ihrer Einwohnerzahl bedeutet, dass die Bevölkerungsverteilung dem Zipfschen Gesetz gehorcht - d.h. die Einwohnerzahl jeder Stadt verhält sich umgekehrt proportional zu ihrer Position in einer absteigenden Rangfolge. Der US-amerikanische Linguist George Kingsley Zipf (1902-1950) formulierte das nach ihm benannte Gesetz allerdings in einem ganz anderen Zusammenhang. Zipf hat entdeckt, dass in Texten jeder beliebigen indoeuropäischen Sprache (zum Beispiel in irgendeinem Roman) das am häufigsten gebrauchte Wort ungefähr doppelt so oft vorkommt wie das am zweithäufigsten verwendete, drei Mal so oft wie das am dritthäufigsten auftauchende usw. Zipf hat außerdem herausgefunden, dass die Wörter einer Sprache, die in der Alltagskommunikation am häufigsten verwendet werden, in aller Regel auch die kürzesten und die ältesten sind. Seine Untersuchungen machten ihn zu einem Pionier der quantitativen Erforschung sprachlicher Phänomene.

Mittlerweile hat sich herausgestellt, dass es noch etliche andere gesellschaftliche, physikalische und biologische Phänomene gibt, die dem Zipfschen Gesetz folgen. Hierzu gehören beispielsweise die Verkaufszahlen einer ganzen Reihe von Gütern wie Bücher, DVDs, Schuhe oder Kinokarten, die Größe von Unternehmen, die Häufigkeitsverteilung von Website-Besuchen oder von Zitierungen wissenschaftlicher Aufsätze, die Verteilung der Vermögen und Einkommen, Fluktuationen auf Finanzmärkten, die Häufigkeitsverteilung von Waldbränden, Vulkanausbrüchen und Erdbeben oder die Art und Weise, wie genetische Informationen in Proteine übersetzt werden.

Die Sache hat allerdings einen Haken. Die Rechnung geht manchmal nicht auf. Das zeigt schon ein kurzer Blick auf die Liste der größten Städte Deutschlands im Jahre 2013. Da hatte München plötzlich 1 408 000 Einwohner und war damit erheblich größer, als es das Zipfsche Gesetz voraussagt. Dasselbe gilt beispielsweise für Ulm, mit 119 000 Einwohnern die Nr. 61 auf der Liste. Völlig aus dem Rahmen fällt Österreich, wo es gegenwärtig 1 766 000 Wienerinnen und Wiener gibt, gefolgt von gerade einmal 270 000 Grazerinnen und Grazern. Und bei den Städten in den Ländern des Globalen Südens funktioniert das Zipfsche Gesetz offenbar überhaupt nicht.

Bislang ist erst teilweise geklärt, wieso das Zipfsche Gesetz überhaupt auf so unterschiedliche Realitätsbereiche passen kann. Doch jetzt ist die Forschung einen großen Schritt vorangekommen. Kürzlich sind die Wiener Komplexitätsforscher Bernat Corominas-Murtra, Rudolf Hanel und Stefan Thurner durch Computersimulationen und Berechnungen zu der Erkenntnis gekommen, dass das Zipfsche Gesetz universal gültig und immer dann am Werk ist, wenn man es mit komplexen Systemen zu tun hat, die sich ständig verändern und deren Entwicklung in hohem Maße von ihrer eigenen Vergangenheit determiniert wird. Die Wissenschaftler berichten darüber im Fachjournal »Proceedings of the National Academy of Sciences« (DOI: 10.1073/ pnas.1420932112).

Dass ein System von seiner eigenen Vergangenheit determiniert wird, bedeutet laut Corominas-Murtra, Hanel und Thurner im Wesentlichen, dass seine Aktionsspielräume um so mehr schrumpfen, je mehr Zeit bereits vergangen ist. Solche geschichtsabhängigen Systeme würden einem Schriftsteller gleichen, der einen Roman schreibt. Ganz am Anfang kann sich der Schriftsteller aus der Gesamtmenge der Wörter seiner Sprache irgendeines herauspicken. Doch danach werden seine Wahlmöglichkeiten durch die Regeln der Grammatik, die Handlungssituationen und das Eigenleben der Figuren immer weiter eingeschränkt.

Dass es nicht selten zu erheblichen Abweichungen von den Werten kommt, die sich nach dem Zipfschen Gesetz ergeben, lässt sich auf zufällige Ereignisse und äußere Störfaktoren zurückführen. »Das Faszinierende ist, dass wir zeigen konnten, dass auch diese zufälligen Störfaktoren beziehungsweise Überraschungen wiederum zu Gesetzmäßigkeiten führen, die dann genau die Abweichungen vom Zipfschen Gesetz erklären«, meint Koautor Stefan Thurner. Damit werde es erstmals möglich, nicht nur Dutzende Prozesse zu verstehen, die exakt dem Zipfschen Gesetz folgen, sondern auch jene Fälle, wo Abweichungen auftreten.

Das Zipfsche Gesetz ist seit etwa 80 Jahren Gegenstand der Forschung, und intellektuelle Größen wie unter anderem Benoît Mandelbrot, Herbert Simon oder Noam Chomsky haben versucht, eine plausible Lösung dafür zu finden. Thurner zeigt sich überzeugt, dass das nun gelungen sei, weil das Wiener Team seine Erklärung auf den Beweis eines einfachen mathematischen Satzes gründe und eben nicht nur das Zipfsche Gesetz erkläre, sondern auch die Abweichungen davon. »Indem wir bewiesen haben, dass Prozesse, bei denen die möglichen Zustände über die Zeit hinweg abnehmen, dem Zipfschen Gesetz gehorchen, glauben wir jetzt auf eine sehr allgemeine Art und Weise die Sache mit den Wörtern zu verstehen - und damit auch viele andere solche Probleme«, erklärt Stefan Thurner.

Anwendbar könnten die Ergebnisse bei bestimmten Risiken sein. Man könnte das Verständnis nutzen, um Systeme zu bauen, die nicht auf das Zipfgesetz führen. Denn viele Systeme, die sich nach dem Gesetz verhalten sind relativ leicht verletzlich. Ein Beispiel dafür ist das Internet. Das kann man derzeit mit Angriffen auf wenige Server weitgehend lahmlegen.

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